2022年高数A(二)期末第一-2题
📝 题目
2．假设函数 $f(x)$ 可导，且 $f(0)=0$ ，那么 $\displaystyle{\int_{0}^{x} f^{\prime}(2 t) \mathrm{d} t=}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：换元处理
令 $u = 2t$，则 $t = \frac{u}{2}$，$\mathrm{d}t = \frac{1}{2}\mathrm{d}u$。当 $t=0$ 时 $u=0$，当 $t=x$ 时 $u=2x$。
公式：$$\int_{0}^{x} f'(2t) \, dt = \frac{1}{2} \int_{0}^{2x} f'(u) \, du$$
提示：注意换元时积分限和微元的对应变化
步骤 2/4
目标：代入积分
原积分化为 $\int_{0}^{2x} f'(u) \cdot \frac{1}{2} \mathrm{d}u = \frac{1}{2} \int_{0}^{2x} f'(u) \mathrm{d}u$。
公式：$$\int_{0}^{x} f'(2t) \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int_{0}^{2x} f'(u) \mathrm{d}u$$
提示：注意换元时积分限和微元的对应关系
步骤 3/4
目标：利用牛顿-莱布尼茨公式
由微积分基本定理，$\int_{0}^{2x} f'(u) \mathrm{d}u = f(2x) - f(0)$。已知 $f(0)=0$，所以结果为 $f(2x)$。
公式：$$\int_{a}^{b} f'(x) \, dx = f(b) - f(a)$$
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 4/4
目标：得出最终结果
因此原积分 $= \frac{1}{2} f(2x)$，对应选项 D。
公式：$$\int f'(2t) \, dt = \frac{1}{2} f(2t) + C$$
提示：注意换元时积分限也要变换
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