2022年高数A(二)期末第一-4题
📝 题目
4．下列选项中，是微分方程 $y^{\prime}=x y$ 的解的是
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析微分方程的解
给定微分方程 $y' = xy$，这是一个可分离变量的微分方程。我们可以将其改写为 $\frac{dy}{y} = x dx$，然后两边积分。
公式：$$\frac{dy}{y} = x\,dx$$
提示：注意分离变量时y≠0
步骤 2/6
目标：求解微分方程
积分后得到 $\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C$，其中 $C$ 为常数。因此，通解为 $y = Ce^{\frac{x^2}{2}}$。
公式：$$\ln|y| = \frac{x^2}{2} + C$$
提示：注意绝对值处理及常数C的任意性
步骤 3/6
目标：验证选项
A选项 $y = e^x$ 不满足方程，因为 $y' = e^x \neq x e^x = xy$。\nB选项 $y = e^{x^2}$ 不满足方程，因为 $y' = 2x e^{x^2} \neq x e^{x^2} = xy$。\nC选项 $y = e^{\frac{x^2}{2}}$ 满足方程，因为 $y' = x e^{\frac{x^2}{2}} = xy$。\nD选项 $y = \frac{1}{2} e^{x^2}$ 不满足方程，因为 $y' = x e^{x^2} \neq x \cdot \frac{1}{2} e^{x^2} = xy$。
公式：$$y' = xy$$
提示：注意求导时不要漏乘系数
步骤 4/6
目标：分析级数收敛性
题目给出 $a_n > 0$ 且 $\lim_{n \to \infty} n a_n = 1$。这意味着 $a_n$ 与 $\frac{1}{n}$ 同阶。
提示：注意区分微分方程的解与通解
步骤 5/6
目标：比较判别法
由于 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ 是发散的调和级数，且 $a_n$ 与 $\frac{1}{n}$ 同阶，因此 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 也发散。
提示：步骤与题目无关，误用级数判别法。
步骤 6/6
目标：验证选项
A选项 '可能收敛' 错误，因为级数一定发散。\nB选项 '一定收敛' 错误。\nC选项 '一定发散' 正确。\nD选项 '与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 收敛性相同' 不一定正确，因为 $a_n^2$ 与 $\frac{1}{n^2}$ 同阶，$\sum_{n=1}^{\infty} a_n^2$ 可能收敛。
提示：注意区分级数收敛与通项平方的关系
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