2022年高数A(二)期末第一-5题
📝 题目
5．如果 $a_{n}>0$ 且 $\displaystyle{\lim _{n \rightarrow \infty} n a_{n}=1}$ ，则级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}}$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析已知条件
已知 a_n > 0 且 lim_{n→∞} n a_n = 1，说明当 n 充分大时，a_n ~ 1/n。
公式：$$a_n \sim \frac{1}{n} \quad (n \to \infty)$$
提示：注意正项级数比较判别法的适用条件
步骤 2/3
目标：比较级数敛散性
由极限比较判别法，级数 ∑ a_n 与 ∑ 1/n 具有相同的敛散性。而调和级数 ∑ 1/n 发散，因此 ∑ a_n 一定发散。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{1/n} = 1$$
提示：注意极限比较判别法的适用条件
步骤 3/3
目标：判断选项
根据以上分析，级数 ∑ a_n 一定发散，对应选项 C。
公式：$$\lim_{n \to \infty} n a_n = 1 \Rightarrow a_n \sim \frac{1}{n}$$
提示：注意比较判别法的极限形式
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。