2022年高数A(二)期末第一-7题
📝 题目
7．反常积分 $\displaystyle{\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} d x}$ ， ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定收敛半径
由题意，幂级数在 x=1 处条件收敛，说明收敛半径 R = 1，且 x=1 是收敛区间端点。
提示：注意区分幂级数与反常积分
步骤 2/6
目标：分析选项A
x=1/2 在收敛区间内部（|x|
提示：注意区分幂级数与反常积分
步骤 3/6
目标：分析选项B
x=2 在收敛区间外部（|x|>R），故幂级数发散，B正确。
提示：注意幂级数收敛区间与收敛域的区别
步骤 4/6
目标：分析选项C
x=-1 是收敛区间另一端点，幂级数在 x=-1 处可能绝对收敛、条件收敛或发散，但由条件收敛在 x=1 处不能直接推出 x=-1 处也条件收敛，实际上可能绝对收敛或发散，因此C的说法不一定正确，是错误选项。
提示：端点收敛性需单独判断
步骤 5/6
目标：分析选项D
幂级数在收敛区间内闭一致收敛，和函数在收敛区间内连续，端点处若收敛则和函数在该点单侧连续。已知在 x=1 处收敛（条件收敛），故和函数在 x=1 处左连续，但题目未说明定义域包含右侧，通常理解为在收敛域内连续，因此D正确。
提示：注意幂级数收敛区间内闭一致收敛性质
步骤 6/6
目标：得出结论
错误的说法是C。
公式：$$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x^{p}} dx = \begin{cases} \frac{1}{p-1}, & p>1 \\ \text{发散}, & p \leq 1 \end{cases}$$
提示：注意p=1时发散，p<1也发散
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。