2022年高数A(二)期末第一-8题
📝 题目
8．函数 $z=\ln \left(x^{2}+y^{2}-1\right)+\sqrt{2-x^{2}-y^{2}}$ 的定义域是 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出积分表达式
考虑反常积分 ∫_{1}^{+∞} 1/x^p dx，其中 p 为实数。
公式：$$\begin{cases} x^2 + y^2 - 1 > 0 \\ 2 - x^2 - y^2 \geq 0 \end{cases}$$
提示：注意根号内非负且对数真数大于0
步骤 2/4
目标：计算积分值
当 p ≠ 1 时，原函数为 x^{1-p}/(1-p)，代入上下限：
∫_{1}^{A} 1/x^p dx = (A^{1-p} - 1)/(1-p)。
当 p = 1 时，原函数为 ln x，∫_{1}^{A} 1/x dx = ln A。
提示：注意定义域是同时满足两个条件
步骤 3/4
目标：判断极限收敛性
令 A → +∞：
- 若 p > 1，则 1-p < 0，A^{1-p} → 0，积分收敛于 1/(p-1)；
- 若 p = 1，则 ln A → +∞，积分发散；
- 若 p < 1，则 1-p > 0，A^{1-p} → +∞，积分发散。
提示：注意定义域为不等式组解集
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，p > 1 时收敛，p ≤ 1 时发散。对应选项 C。
提示：注意定义域是同时满足两个条件的点集
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