2022年高数A(二)期末第三-1题
📝 题目
1． $\displaystyle{\int_{0}^{\ln 2} x e^{-x} \mathrm{~d} x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：选择分部积分公式
令 u = x，dv = e^{-x} dx，则 du = dx，v = -e^{-x}。
公式：$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$
提示：注意u和dv的选择，避免循环积分
步骤 2/3
目标：应用分部积分公式
∫ x e^{-x} dx = -x e^{-x} - ∫ (-e^{-x}) dx = -x e^{-x} + ∫ e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C。
公式：$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$
提示：注意分部积分中u和dv的选取
步骤 3/3
目标：代入上下限计算定积分
∫_{0}^{ln2} x e^{-x} dx = [ -x e^{-x} - e^{-x} ]_{0}^{ln2} = (-ln2·e^{-ln2} - e^{-ln2}) - (0 - 1) = (-ln2·(1/2) - 1/2) + 1 = - (ln2)/2 - 1/2 + 1 = 1/2 - (ln2)/2 = (1 - ln2)/2。
公式：$$\int x e^{-x} dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C$$
提示：注意代入上下限时符号处理
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