2022年高数A(二)期末第三-2题
📝 题目
2． $\displaystyle{\int_{0}^{1} x\left(2-x^{2}\right)^{12} \mathrm{~d} x}$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：观察被积函数，考虑换元
被积函数为 x(2 - x^2)^12，注意到 (2 - x^2) 的导数为 -2x，与 x 有关，因此令 u = 2 - x^2，则 du = -2x dx，即 x dx = -du/2。
公式：$$\int x(2-x^2)^{12}dx = -\frac{1}{2}\int u^{12}du$$
提示：注意du与dx的转换系数
步骤 2/4
目标：换元并调整积分上下限
当 x = 0 时，u = 2 - 0 = 2；当 x = 1 时，u = 2 - 1 = 1。积分变为 ∫_{x=0}^{1} x(2 - x^2)^12 dx = ∫_{u=2}^{1} u^12 * (-du/2) = (1/2) ∫_{1}^{2} u^12 du。
公式：$$\int_{a}^{b} f(g(x))g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du$$
提示：注意换元后积分上下限的变化
步骤 3/4
目标：计算定积分
∫ u^12 du = u^13 / 13，所以 (1/2) ∫_{1}^{2} u^12 du = (1/2) * [u^13 / 13]_{1}^{2} = (1/26) * (2^13 - 1^13) = (1/26) * (8192 - 1) = 8191/26。
公式：$$\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$$
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 4/4
目标：化简结果
8191/26 已是最简分数，因此答案为 8191/26。
提示：注意化简后检查是否为最简分数
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。