2022年高数A(二)期末第二-10题
📝 题目
10．已知幂级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} x^{n}}$ 的在收敛区间内的和函数为 $\ln (1+x)$ ，那么幂级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n} x^{n-1}}$ 的和函数为
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别已知条件
已知幂级数 ∑_{n=1}^{∞} a_n x^n 的和函数为 ln(1+x)，即 ∑_{n=1}^{∞} a_n x^n = ln(1+x)，收敛区间为 (-1,1]。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n = \ln(1+x), \quad x \in (-1,1]$$
提示：注意收敛区间包含端点x=1
步骤 2/4
目标：利用逐项求导性质
对已知的幂级数逐项求导，得到 ∑_{n=1}^{∞} n a_n x^{n-1} = d/dx [ln(1+x)]。
公式：$$\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^n\right) = \sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1} = \frac{1}{1+x}$$
提示：注意逐项求导后指数变化
步骤 3/4
目标：计算导数
d/dx [ln(1+x)] = 1/(1+x)。
公式：$$\frac{d}{dx}\ln(1+x)=\frac{1}{1+x}$$
提示：注意ln(1+x)的导数是1/(1+x)，不是1/x。
步骤 4/4
目标：得出结果
因此，幂级数 ∑_{n=1}^{∞} n a_n x^{n-1} 的和函数为 1/(1+x)，收敛区间为 (-1,1)。
公式：$$\frac{d}{dx}\ln(1+x)=\frac{1}{1+x}$$
提示：注意逐项求导后n从1开始
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