2022年高数A(二)期末第二-3题
📝 题目
3．设 $\displaystyle{f(x)=\int_{0}^{\sin x} t^{2} d t}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题目
题目给出了一个函数 $f(x) = \int_{0}^{\sin x} t^{2} dt$，要求我们求它的导数 $f'(x)$。
公式：$$\frac{d}{dx}\int_{0}^{g(x)} f(t) dt = f(g(x)) \cdot g'(x)$$
提示：注意积分上限是sin x，需用链式法则
步骤 2/4
目标：应用微积分基本定理
根据微积分基本定理，如果 $F(x) = \int_{a}^{x} g(t) dt$，那么 $F'(x) = g(x)$。但这里的上限是 $\sin x$，而不是 $x$，所以需要应用链式法则。
公式：$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{u(x)} g(t) dt = g(u(x)) \cdot u'(x)$$
提示：注意上限是函数，需用链式法则
步骤 3/4
目标：链式法则的应用
设 $u = \sin x$，则 $f(x) = \int_{0}^{u} t^{2} dt$。根据链式法则，$f'(x) = \frac{d}{du} \left( \int_{0}^{u} t^{2} dt \right) \cdot \frac{du}{dx} = u^{2} \cdot \cos x = \sin^{2} x \cdot \cos x$。
公式：$$\frac{d}{dx}\int_{0}^{g(x)} f(t) dt = f(g(x)) \cdot g'(x)$$
提示：注意积分上限是函数，需用链式法则。
步骤 4/4
目标：最终答案
因此，$f'(x) = \sin^{2} x \cdot \cos x$。
公式：$$\frac{d}{dx} \int_{0}^{g(x)} f(t) dt = f(g(x)) \cdot g'(x)$$
提示：注意上限是sin x，需用链式法则
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