2022年高数A(二)期末第二-7题
📝 题目
7．若 $\displaystyle{\int f(x) \mathrm{d} x=x \sin x+C}$ ，那么 $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x=}$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：理解题意
题目给出了不定积分 $\int f(x) \mathrm{d} x = x \sin x + C$，要求我们求定积分 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x$。
公式：$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$
提示：注意不定积分常数C不影响定积分结果
步骤 2/7
目标：利用不定积分求原函数
根据不定积分的定义，$f(x)$ 是 $x \sin x + C$ 的导数。因此，我们可以先求 $x \sin x + C$ 的导数。
公式：$$f(x) = \frac{d}{dx}(x \sin x + C)$$
提示：注意常数C的导数为0
步骤 3/7
目标：求导
对 $x \sin x + C$ 求导：
$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}(x \sin x + C) = \sin x + x \cos x + 0 = \sin x + x \cos x$$
因此，$f(x) = \sin x + x \cos x$。
公式：$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x \sin x + C) = \sin x + x \cos x$$
提示：注意乘积法则和常数导数为0
步骤 4/7
目标：计算定积分
现在我们需要计算 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + x \cos x) \mathrm{d} x$。可以将其拆分为两个积分：
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{d} x + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \mathrm{d} x$$
公式：$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx + \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx$$
提示：注意积分上下限一致，拆分后分别计算
步骤 5/7
目标：计算第一个积分
第一个积分是 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{d} x$：
$$\int \sin x \mathrm{d} x = -\cos x + C$$
因此，
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin x \mathrm{d} x = -\cos \left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos 0 = 0 + 1 = 1$$
公式：$$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$$
提示：注意定积分计算时上下限代入顺序
步骤 6/7
目标：计算第二个积分
第二个积分是 $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \mathrm{d} x$，需要使用分部积分法。设 $u = x$，$\mathrm{d} v = \cos x \mathrm{d} x$，则 $\mathrm{d} u = \mathrm{d} x$，$v = \sin x$。
分部积分公式为：
$$\int u \mathrm{d} v = u v - \int v \mathrm{d} u$$
因此，
$$\int x \cos x \mathrm{d} x = x \sin x - \int \sin x \mathrm{d} x = x \sin x + \cos x + C$$
于是，
$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \mathrm{d} x = \left. x \sin x + \cos x \right|_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \left(\frac{\pi}{2} \cdot 1 + 0\right) - (0 + 1) = \frac{\pi}{2} - 1$$
公式：$$\int u \mathrm{d} v = u v - \int v \mathrm{d} u$$
提示：注意分部积分后代入上下限时符号处理
步骤 7/7
目标：合并结果
将两个积分的结果相加：
$$1 + \left(\frac{\pi}{2} - 1\right) = \frac{\pi}{2}$$
因此，$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \mathrm{d} x = \frac{\pi}{2}$。
公式：$$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx = \frac{\pi}{2}$$
提示：注意积分常数C在定积分中抵消
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