2022年高数A(二)期末第二-8题
📝 题目
8．假设 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)}=$ $\_\_\_\_$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将方程视为隐函数，两边对x求偏导
给定方程 $x^2 + y^2 + z^2 = 1$，将 $z$ 视为 $x$ 和 $y$ 的隐函数。对等式两边关于 $x$ 求偏导，注意 $y$ 视为常数，$z$ 是 $x$ 的函数：
$$\frac{\partial}{\partial x}(x^2) + \frac{\partial}{\partial x}(y^2) + \frac{\partial}{\partial x}(z^2) = \frac{\partial}{\partial x}(1)$$
得到：
$$2x + 0 + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0$$
公式：$$2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0$$
提示：注意z是x的函数，求导时要用链式法则
步骤 2/3
目标：解出偏导数的表达式
由上式 $2x + 2z \frac{\partial z}{\partial x} = 0$，移项得：
$$2z \frac{\partial z}{\partial x} = -2x$$
两边同时除以 $2z$（假设 $z \neq 0$），得到：
$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$$
公式：$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$$
提示：注意隐函数求导时z是x的函数
步骤 3/3
目标：代入给定点坐标计算偏导数值
给定点为 $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)$，代入 $x = \frac{1}{2}$，$z = \frac{\sqrt{2}}{2}$：
$$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = -\frac{\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$$
公式：$$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z}$$
提示：注意代入时z取正值，分母不为零
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