2022年高数A(二)期末第五-1题
📝 题目
1． $\displaystyle{\iint_{D}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y}$ ，其中 $D$ 是以 $y=x, y=x+a, y=a$ 和 $y=3 a(a>0)$ 为边的平行四边形。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：题目1：确定积分区域与变量替换
区域D由直线y=x, y=x+a, y=a, y=3a围成，其中a>0。令u=y-x, v=y，则区域变为：u从0到a，v从a到3a。雅可比行列式|J|=1。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \iint_{D'} f(x(u,v), y(u,v)) |J| \, dudv$$
提示：注意雅可比行列式绝对值
步骤 2/4
目标：题目1：变换积分并计算
被积函数x²+y²用u,v表示：x=v-u, y=v，则x²+y²=(v-u)²+v²=2v²-2uv+u²。积分化为∫_{v=a}^{3a}∫_{u=0}^{a}(2v²-2uv+u²) du dv。先对u积分：∫(2v²-2uv+u²)du = 2v²u - v u² + u³/3 从0到a = 2av² - a²v + a³/3。再对v积分：∫_{a}^{3a}(2av² - a²v + a³/3)dv = [2a·v³/3 - a²·v²/2 + a³v/3]_{a}^{3a} = 计算得14a⁴/3。
公式：$$\iint_D (x^2+y^2) \, dxdy = \int_{v=a}^{3a} \int_{u=0}^{a} (2v^2 - 2uv + u^2) \, du \, dv$$
提示：注意积分变量替换后上下限对应正确
步骤 3/4
目标：题目2：识别积分区域与选择坐标系
区域D是圆心在原点、半径为1的圆盘：x²+y²≤1。被积函数√(x²+y²)具有旋转对称性，采用极坐标变换：x=r cosθ, y=r sinθ，雅可比行列式为r，积分区域：r从0到1，θ从0到2π。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \iint_{D'} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, drd\theta$$
提示：注意极坐标变换时雅可比行列式为r
步骤 4/4
目标：题目2：极坐标下计算积分
被积函数√(x²+y²)=r，积分化为∫_{θ=0}^{2π}∫_{r=0}^{1} r·r dr dθ = ∫_{0}^{2π}dθ ∫_{0}^{1} r² dr = 2π · [r³/3]_{0}^{1} = 2π/3。
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_{\theta=\alpha}^{\beta} \int_{r=a}^{b} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr d\theta$$
提示：注意极坐标面积元为r dr dθ
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