2022年高数A(二)期末第五-2题
📝 题目
2． $\displaystyle{\iint_{D} \sqrt{x^{2}+y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}$ ，其中 $D$ 是以原点为圆心 1 为半径的圆盘 $\left(x^{2}+y^{2} \leq 1\right)$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：确定积分区域与坐标系选择
积分区域D是圆心在原点、半径为1的圆盘，被积函数为√(x²+y²)，适合使用极坐标变换。令x = r cosθ, y = r sinθ，则x²+y² = r²，√(x²+y²) = r，面积元dxdy = r dr dθ。
公式：$$\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \, dxdy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r \cdot r \, dr$$
提示：极坐标变换时面积元为rdrdθ
步骤 2/6
目标：确定积分限
在极坐标下，r从0到1，θ从0到2π。
提示：极坐标变换时不要漏掉雅可比行列式r
步骤 3/6
目标：写出极坐标下的二重积分
原积分化为：∫_{θ=0}^{2π} ∫_{r=0}^{1} r * r dr dθ = ∫_{0}^{2π} dθ ∫_{0}^{1} r² dr。
公式：$$\iint_D f(x,y) \,dxdy = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr d\theta$$
提示：注意极坐标面积元为 r dr dθ
步骤 4/6
目标：计算内层积分
先对r积分：∫_{0}^{1} r² dr = [r³/3]_{0}^{1} = 1/3。
公式：$$\int_{0}^{1} r^2 \, dr = \left[ \frac{r^3}{3} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}$$
提示：注意极坐标变换时面积元为 r dr dθ
步骤 5/6
目标：计算外层积分
再对θ积分：∫_{0}^{2π} (1/3) dθ = (1/3) * 2π = 2π/3。
公式：$$\int_{0}^{2\pi} \frac{1}{3} d\theta = \frac{1}{3} \cdot 2\pi = \frac{2\pi}{3}$$
提示：注意积分限为0到2π，不要遗漏
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，原二重积分的值为 2π/3。
公式：$$\iint_D \sqrt{x^2+y^2} \, dxdy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^1 r \cdot r \, dr = 2\pi \cdot \frac{1}{3} = \frac{2\pi}{3}$$
提示：注意极坐标变换中面积元为rdrdθ
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