2022年高数A(二)期末第六-2题
📝 题目
2．求函数 $z=x^{2}-x y+y^{2}-2 x+y$ 的极值点和极值
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求一阶偏导数
对 $z$ 分别求关于 $x$ 和 $y$ 的偏导数：
$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 2x - y - 2$
$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = -x + 2y + 1$
公式：$$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x - y - 2, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = -x + 2y + 1$$
提示：求偏导时视另一变量为常数
步骤 2/5
目标：求驻点
令 $z_x = 0$ 且 $z_y = 0$，解方程组：
$\begin{cases} 2x - y - 2 = 0 \\ -x + 2y + 1 = 0 \end{cases}$
由第一式得 $y = 2x - 2$，代入第二式：
$-x + 2(2x - 2) + 1 = 0 \Rightarrow -x + 4x - 4 + 1 = 0 \Rightarrow 3x - 3 = 0 \Rightarrow x = 1$
代入 $y = 2\cdot1 - 2 = 0$，得驻点 $(1, 0)$。
公式：$$\begin{cases} 2x - y - 2 = 0 \\ -x + 2y + 1 = 0 \end{cases}$$
提示：解方程组时注意符号，代入后仔细计算。
步骤 3/5
目标：求二阶偏导数
计算二阶偏导数：
$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2$
$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 2$
$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = -1$
公式：$$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}, z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$$
提示：注意混合偏导顺序不影响结果
步骤 4/5
目标：用判别法判断极值
在驻点 $(1,0)$ 处，计算判别式 $\Delta = z_{xx}z_{yy} - (z_{xy})^2 = 2 \times 2 - (-1)^2 = 4 - 1 = 3 > 0$，且 $z_{xx} = 2 > 0$，故该点为极小值点。
公式：$$\Delta = z_{xx}z_{yy} - (z_{xy})^2$$
提示：注意判别式大于0且z_xx>0为极小值
步骤 5/5
目标：求极值
将 $(1,0)$ 代入原函数：
$z(1,0) = 1^2 - 1\cdot0 + 0^2 - 2\cdot1 + 0 = 1 - 0 + 0 - 2 + 0 = -1$
因此极小值为 $-1$。
提示：代入时注意符号和计算顺序
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