2023年高数A(二)期末第一-1题
📝 题目
1．下列不等式中正确的是 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：分析选项A和B
计算 $\int_{0}^{1} x^{2} d x$ 和 $\int_{0}^{1} x^{3} d x$：
$$\int_{0}^{1} x^{2} d x = \left. \frac{x^{3}}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}$$
$$\int_{0}^{1} x^{3} d x = \left. \frac{x^{4}}{4} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}$$
比较 $\frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{4}$，显然 $\frac{1}{3} > \frac{1}{4}$。因此，选项A错误，选项B正确。
公式：$$\int_{0}^{1} x^{n} dx = \left. \frac{x^{n+1}}{n+1} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{n+1}$$
提示：注意积分上下限代入计算
步骤 2/2
目标：分析选项C和D
计算 $\int_{1}^{2} x^{2} d x$ 和 $\int_{1}^{2} x^{3} d x$：
$$\int_{1}^{2} x^{2} d x = \left. \frac{x^{3}}{3} \right|_{1}^{2} = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3}$$
$$\int_{1}^{2} x^{3} d x = \left. \frac{x^{4}}{4} \right|_{1}^{2} = \frac{16}{4} - \frac{1}{4} = \frac{15}{4}$$
比较 $\frac{15}{4}$ 和 $\frac{7}{3}$，$\frac{15}{4} \approx 3.75$，$\frac{7}{3} \approx 2.333$，因此 $\frac{15}{4} > \frac{7}{3}$，选项C错误。
计算 $\int_{1}^{2} x d x$：
$$\int_{1}^{2} x d x = \left. \frac{x^{2}}{2} \right|_{1}^{2} = \frac{4}{2} - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$$
比较 $\frac{3}{2}$ 和 $\frac{7}{3}$，$\frac{3}{2} = 1.5$，$\frac{7}{3} \approx 2.333$，因此 $\frac{3}{2} < \frac{7}{3}$，选项D错误。
公式：$$\int_{a}^{b} x^{n} dx = \left. \frac{x^{n+1}}{n+1} \right|_{a}^{b}$$
提示：注意积分上下限代入顺序
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