2023年高数A(二)期末第一-2题
📝 题目
2．假设 $\displaystyle{y=\int_{0}^{x}(t-1)^{2}(t+2) d t}$ ，则 $\displaystyle \left.\frac{d y}{d x}\right|_{x=0}=$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：计算导数
根据微积分基本定理，若 $y = \int_{0}^{x} f(t) dt$，则 $\frac{dy}{dx} = f(x)$。因此，对于 $y = \int_{0}^{x} (t-1)^2(t+2) dt$，有 $\frac{dy}{dx} = (x-1)^2(x+2)$。
公式：$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{x} f(t) dt = f(x)$$
提示：注意积分上限是x，直接代入被积函数
步骤 2/8
目标：求导数值
计算 $\left.\frac{dy}{dx}\right|_{x=0}$：$\frac{dy}{dx}\big|_{x=0} = (0-1)^2(0+2) = 1 \times 2 = 2$。因此，正确答案是 D。
公式：$$\frac{dy}{dx} = (x-1)^2(x+2)$$
提示：注意积分上限求导时直接代入被积函数
步骤 3/8
目标：分析微分方程的解
题目给出微分方程 $y' + x y = e^{-\frac{x^2}{2}}$。我们需要验证哪个选项满足这个方程。
公式：$$\frac{d}{dx}\int_{0}^{x} f(t) dt = f(x)$$
提示：注意积分上限是变量x，直接代入被积函数
步骤 4/8
目标：验证选项A
选项A：$y = e^{-\frac{x^2}{2}}$。计算导数：$y' = -x e^{-\frac{x^2}{2}}$。代入方程：$-x e^{-\frac{x^2}{2}} + x e^{-\frac{x^2}{2}} = 0 \neq e^{-\frac{x^2}{2}}$。因此，A错误。
提示：注意验证导数是否满足原方程
步骤 5/8
目标：验证选项B
选项B：$y = x e^{-\frac{x^2}{2}}$。计算导数：$y' = e^{-\frac{x^2}{2}} - x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}$。代入方程：$e^{-\frac{x^2}{2}} - x^2 e^{-\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{-\frac{x^2}{2}} = e^{-\frac{x^2}{2}}$。等式成立，因此B正确。
公式：$$y' = e^{-\frac{x^2}{2}} - x^2 e^{-\frac{x^2}{2}}$$
提示：注意乘积法则的正确应用
步骤 6/8
目标：验证选项C
选项C：$y = e^{\frac{x^2}{2}}$。计算导数：$y' = x e^{\frac{x^2}{2}}$。代入方程：$x e^{\frac{x^2}{2}} + x e^{\frac{x^2}{2}} = 2x e^{\frac{x^2}{2}} \neq e^{-\frac{x^2}{2}}$。因此，C错误。
公式：$$y' = x e^{\frac{x^2}{2}}$$
提示：代入方程后两边不相等
步骤 7/8
目标：验证选项D
选项D：$y = x e^{\frac{x^2}{2}}$。计算导数：$y' = e^{\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{\frac{x^2}{2}}$。代入方程：$e^{\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{\frac{x^2}{2}} + x^2 e^{\frac{x^2}{2}} = e^{\frac{x^2}{2}} + 2x^2 e^{\frac{x^2}{2}} \neq e^{-\frac{x^2}{2}}$。因此，D错误。
提示：注意导数计算和方程代入验证
步骤 8/8
目标：总结
对于第一题，正确答案是 D。对于第二题，正确答案是 B。
提示：注意积分上限为变量时求导规则
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