2023年高数A(二)期末第一-3题
📝 题目
3．下列选项中，是微分方程 $\displaystyle y^{\prime}+x y=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$ 的解的是 ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出微分方程并明确验证方法
给定微分方程 y' + xy = e^{-x^2/2}。要判断哪个选项是解，只需将各选项的 y 代入方程，验证是否恒成立。
公式：$$y' + xy = e^{-\frac{x^2}{2}}$$
提示：代入验证时需计算y'并化简
步骤 2/6
目标：验证选项A
y = e^{-x^2/2}，则 y' = -x e^{-x^2/2}。代入左边：y' + xy = -x e^{-x^2/2} + x e^{-x^2/2} = 0，右边为 e^{-x^2/2}，0 ≠ e^{-x^2/2}，故A不是解。
公式：$$y' + xy = e^{-\frac{x^2}{2}}$$
提示：代入验证时需同时计算左右两边
步骤 3/6
目标：验证选项B
y = x e^{-x^2/2}，则 y' = e^{-x^2/2} + x·(-x e^{-x^2/2}) = e^{-x^2/2} - x^2 e^{-x^2/2}。代入左边：y' + xy = (e^{-x^2/2} - x^2 e^{-x^2/2}) + x·(x e^{-x^2/2}) = e^{-x^2/2} - x^2 e^{-x^2/2} + x^2 e^{-x^2/2} = e^{-x^2/2}，右边也是 e^{-x^2/2}，故B是解。
公式：$$y' = e^{-x^2/2} - x^2 e^{-x^2/2}$$
提示：注意乘积法则求导时符号
步骤 4/6
目标：验证选项C
y = e^{x^2/2}，则 y' = x e^{x^2/2}。代入左边：y' + xy = x e^{x^2/2} + x e^{x^2/2} = 2x e^{x^2/2}，右边为 e^{-x^2/2}，显然不相等，故C不是解。
公式：$$y' + xy = e^{-\frac{x^2}{2}}$$
提示：代入验证时注意左右两边是否相等
步骤 5/6
目标：验证选项D
y = x e^{x^2/2}，则 y' = e^{x^2/2} + x·(x e^{x^2/2}) = e^{x^2/2} + x^2 e^{x^2/2}。代入左边：y' + xy = (e^{x^2/2} + x^2 e^{x^2/2}) + x·(x e^{x^2/2}) = e^{x^2/2} + x^2 e^{x^2/2} + x^2 e^{x^2/2} = e^{x^2/2} + 2x^2 e^{x^2/2}，右边为 e^{-x^2/2}，不相等，故D不是解。
公式：$$y' + xy = e^{-\frac{x^2}{2}}$$
提示：注意求导时乘积法则的正确应用
步骤 6/6
目标：得出结论
只有选项B满足微分方程，因此正确答案是B。
公式：$$y' + P(x)y = Q(x)$$
提示：注意验证解是否满足微分方程
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。