2023年高数A(二)期末第一-5题
📝 题目
5．如果级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} q^{n}}$ 收敛，那么 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别级数类型
级数 ∑_{n=1}^{∞} q^n 是等比级数（几何级数），首项为 q，公比为 q。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} q^n = \frac{q}{1-q} \quad (|q|<1)$$
提示：注意首项为q，不是1
步骤 2/3
目标：回忆等比级数收敛条件
等比级数 ∑_{n=1}^{∞} a r^{n-1} 收敛当且仅当 |r| < 1。对于本题，a = q，r = q，因此收敛条件为 |q| < 1。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} \text{ 收敛当且仅当 } |r| < 1$$
提示：注意公比是q，首项也是q
步骤 3/3
目标：选择正确选项
根据收敛条件 |q| < 1，对应选项 D：|q| < 1。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} q^{n} \text{ 收敛当且仅当 } |q| < 1$$
提示：注意是|q|<1，不是q<1。
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