2023年高数A(二)期末第一-6题
📝 题目
6．下列级数中，绝对收敛的是 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项A
选项A的级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n}$。这是一个交错级数，根据莱布尼茨判别法，它收敛。但绝对值级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，是发散的调和级数。因此，选项A不是绝对收敛的。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$
提示：注意区分条件收敛与绝对收敛
步骤 2/5
目标：分析选项B
选项B的级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{\sqrt{n}}$。这也是一个交错级数，根据莱布尼茨判别法，它收敛。但绝对值级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$，是发散的p级数（$p=1/2<1$）。因此，选项B不是绝对收敛的。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$
提示：p≤1时发散，p>1时收敛
步骤 3/5
目标：分析选项C
选项C的级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{n^{2}}$。这是一个交错级数，绝对值级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$，是收敛的p级数（$p=2>1$）。因此，选项C是绝对收敛的。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ 收敛当且仅当 } p>1$$
提示：注意p级数收敛条件p>1
步骤 4/5
目标：分析选项D
选项D的级数为 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{n}{n+1}$。通项 $\frac{n}{n+1}$ 不趋于0，因此级数发散。所以选项D不是绝对收敛的。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{n+1} = 1 \neq 0$$
提示：通项不趋于0则级数必发散
步骤 5/5
目标：总结选项
综上所述，只有选项C的级数是绝对收敛的。
提示：注意区分绝对收敛与条件收敛
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