2023年高数A(二)期末第一-7题
📝 题目
7．已知积分 $\displaystyle{\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=-2}$ ，那么 $\displaystyle{\int_{0}^{1} f(2 x) \mathrm{d} x=}$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：换元
令 $t = 2x$，则 $x = \frac{t}{2}$，$\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}t$。
公式：$$\int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t) \, dt$$
提示：换元后要同步更新积分上下限
步骤 2/4
目标：变换积分限
当 $x=0$ 时 $t=0$；当 $x=1$ 时 $t=2$。因此 $\int_0^1 f(2x)\mathrm{d}x = \int_0^2 f(t)\cdot\frac{1}{2}\mathrm{d}t$。
公式：$$\int_a^b f(g(x))g'(x)dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(t)dt$$
提示：换元时积分限要同步变换
步骤 3/4
目标：代入已知积分值
由已知 $\int_0^2 f(t)\mathrm{d}t = -2$，所以原式 $= \frac{1}{2} \times (-2) = -1$。
公式：$$\int_{0}^{1} f(2x) \mathrm{d}x = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(t) \mathrm{d}t$$
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 4/4
目标：选择答案
结果为 $-1$，对应选项 C。
公式：$$\int_{0}^{1} f(2x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(u) \, du$$
提示：注意换元时积分限和微元的变换
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