2023年高数A(二)期末第一-9题
📝 题目
9．设积分区域 $\displaystyle D_{1}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} ; D_{2}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 2\right\} ; D_{3}=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{1}{2} x^{2}+y^{2} \leq 1\right.\right\}$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析被积函数
被积函数为 f(x,y)=1-(x²+½y²)。当 x²+½y²<1 时 f>0，当 x²+½y²=1 时 f=0，当 x²+½y²>1 时 f<0。
提示：注意被积函数正负与椭圆区域的关系
步骤 2/4
目标：比较各积分区域与椭圆 x²+½y²=1 的关系
D₁: x²+y²≤1，该圆盘完全包含在椭圆 x²+½y²=1 内部（因为椭圆在x轴方向更宽），故在D₁上f>0，积分I₁>0。
D₂: x²+y²≤2，该圆盘部分在椭圆外，部分在椭圆内，积分I₂可能较小甚至为负。
D₃: ½x²+y²≤1，这是另一个椭圆，与椭圆x²+½y²=1相交，需要具体比较。
D₄: x²+½y²≤1，这正是被积函数为零的边界所围成的区域，在D₄内部f≥0，且D₄恰好是f非负的最大区域。
提示：注意椭圆区域与圆盘区域的包含关系
步骤 3/4
目标：确定最大积分对应的区域
由于在D₄上被积函数非负，且D₄包含了所有使f>0的点，而其他区域要么包含负值部分（D₂），要么小于D₄（D₁和D₃），因此I₄最大。
提示：注意被积函数符号和区域大小
步骤 4/4
目标：得出结论
max{I₁,I₂,I₃,I₄}=I₄，对应选项D。
提示：比较积分大小时注意被积函数符号与区域对称性
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