2023年高数A(二)期末第一-10题
📝 题目
10．二元函数 $z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}+\ln \left(x^{2}+y^{2}-1\right)$ 的定义域为（ ）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定根号部分的条件
对于 $\sqrt{4-x^2-y^2}$，要求 $4-x^2-y^2 \ge 0$，即 $x^2+y^2 \le 4$。
公式：$$4-x^2-y^2 \ge 0$$
提示：注意根号内非负
步骤 2/4
目标：确定对数部分的条件
对于 $\ln(x^2+y^2-1)$，要求 $x^2+y^2-1 > 0$，即 $x^2+y^2 > 1$。
公式：$$x^2+y^2 > 1$$
提示：注意对数真数必须大于0
步骤 3/4
目标：取两个条件的交集
同时满足 $x^2+y^2 \le 4$ 和 $x^2+y^2 > 1$，得到 $1 < x^2+y^2 \le 4$。
公式：$$1 < x^2+y^2 \le 4$$
提示：注意定义域取交集，边界是否包含
步骤 4/4
目标：选择对应选项
定义域为 $\{(x,y) \mid 1 < x^2+y^2 \le 4\}$，对应选项 B。
公式：$$\begin{cases} 4-x^2-y^2 \ge 0 \\ x^2+y^2-1 > 0 \end{cases}$$
提示：注意根号内非负，对数真数大于0
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