2023年高数A(二)期末第二-3题
📝 题目
3．设 $\displaystyle{f(x)=\int_{0}^{x^{2}} \sin t d t}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题目
题目给出了一个函数 $f(x) = \int_{0}^{x^{2}} \sin t \, dt$，要求我们求它的导数 $f'(x)$。此外，题目还给出了一个级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，要求我们求 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$。
公式：$$\frac{d}{dx} \int_{0}^{g(x)} f(t) dt = f(g(x)) \cdot g'(x)$$
提示：注意积分上限是x²，需用链式法则
步骤 2/4
目标：求 $f'(x)$
根据微积分基本定理，如果 $F(x) = \int_{a}^{g(x)} h(t) \, dt$，那么 $F'(x) = h(g(x)) \cdot g'(x)$。这里 $f(x) = \int_{0}^{x^{2}} \sin t \, dt$，所以 $f'(x) = \sin(x^{2}) \cdot \frac{d}{dx}(x^{2}) = \sin(x^{2}) \cdot 2x$。
公式：$$\frac{d}{dx}\int_{a}^{g(x)} h(t) \, dt = h(g(x)) \cdot g'(x)$$
提示：注意积分上限是x²，需对上限求导。
步骤 3/4
目标：求 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n}$
根据级数收敛的必要条件，如果级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，那么 $\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0$。
提示：注意区分级数收敛与数列极限的关系
步骤 4/4
目标：总结答案
对于第一问，$f'(x) = 2x \sin(x^{2})$。对于第二问，$\lim_{n \rightarrow \infty} a_{n} = 0$。
公式：$$\frac{d}{dx}\int_{0}^{x^2} \sin t \, dt = 2x \sin(x^2)$$
提示：注意积分上限是x²，需用链式法则
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