2023年高数A(二)期末第二-9题
📝 题目
9．假设 $z=(x-1) g(y)+(y-1) h(x)$ ，其中 $g(y), h(x)$ 为连续函数，那么 $f_{x}^{\prime}(1,1)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解题目
题目给出了一个函数 $z=(x-1) g(y)+(y-1) h(x)$，其中 $g(y)$ 和 $h(x)$ 是连续函数。要求我们求 $f_{x}^{\prime}(1,1)$。
提示：注意偏导定义中变量固定
步骤 2/4
目标：求偏导数
首先，我们需要求 $z$ 关于 $x$ 的偏导数 $f_{x}^{\prime}(x,y)$。根据偏导数的定义，我们有：
$$f_{x}^{\prime}(x,y) = \frac{\partial z}{\partial x} = g(y) + (y-1) h^{\prime}(x)$$
公式：$$\frac{\partial z}{\partial x} = g(y) + (y-1) h'(x)$$
提示：注意对乘积项求偏导时，将y视为常数
步骤 3/4
目标：代入点 $(1,1)$
现在，我们需要在点 $(1,1)$ 处求偏导数的值。将 $x=1$ 和 $y=1$ 代入 $f_{x}^{\prime}(x,y)$：
$$f_{x}^{\prime}(1,1) = g(1) + (1-1) h^{\prime}(1) = g(1) + 0 = g(1)$$
公式：$$f_x'(1,1) = g(1) + (1-1)h'(1) = g(1)$$
提示：代入时注意(1-1)项为零，避免遗漏
步骤 4/4
目标：结论
因此，$f_{x}^{\prime}(1,1) = g(1)$。
公式：$$f_x'(1,1) = g(1)$$
提示：注意对x求偏导时，h(x)需求导
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