2023年高数A(二)期末第二-10题
📝 题目
10．假设 $y=e^{2 x}$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}+a y=0$ 的一个解，那么 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求已知解的各阶导数
已知 y = e^{2x}，则 y' = 2e^{2x}，y'' = 4e^{2x}。
提示：注意指数函数求导时系数要乘上指数
步骤 2/3
目标：代入微分方程
将 y, y', y'' 代入方程 y'' + y' + a y = 0，得：4e^{2x} + 2e^{2x} + a e^{2x} = 0。
公式：$$y=e^{2x}, y'=2e^{2x}, y''=4e^{2x}$$
提示：注意指数函数求导时系数不要遗漏
步骤 3/3
目标：化简并求解参数 a
合并同类项：(4 + 2 + a)e^{2x} = 0，由于 e^{2x} ≠ 0，所以 6 + a = 0，解得 a = -6。
公式：$$y''+y'+ay=0$$
提示：注意指数函数非零，可直接约去
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