2023年高数A(二)期末第三-1题
📝 题目
1． $\displaystyle{\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos 2 x \mathrm{~d} x}$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：选择分部积分公式
令 u = x，dv = cos(2x) dx，则 du = dx，v = (1/2) sin(2x)。
公式：$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$
提示：注意u和dv的选取，v要易求积分
步骤 2/3
目标：应用分部积分公式
∫ x cos(2x) dx = (1/2)x sin(2x) - ∫ (1/2) sin(2x) dx = (1/2)x sin(2x) + (1/4) cos(2x) + C
公式：$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$
提示：注意分部积分中u和dv的选取
步骤 3/3
目标：代入上下限计算定积分
∫_{0}^{π/2} x cos(2x) dx = [ (1/2)x sin(2x) + (1/4) cos(2x) ]_{0}^{π/2} = (1/2)(π/2) sin(π) + (1/4) cos(π) - [0 + (1/4) cos(0)] = 0 + (1/4)(-1) - (1/4)(1) = -1/4 - 1/4 = -1/2
公式：$$\int x \cos(ax) \, dx = \frac{1}{a} x \sin(ax) + \frac{1}{a^2} \cos(ax) + C$$
提示：代入上下限时注意符号和三角函数值
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