2023年高数A(二)期末第三-2题
📝 题目
2． $\displaystyle{\int_{1}^{\sqrt{e}} \frac{1}{x \sqrt{1-(\ln x)^{2}}} d x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：换元
令 t = ln x，则 dt = 1/x dx。当 x = 1 时，t = 0；当 x = √e 时，t = 1/2。积分变为 ∫_{0}^{1/2} 1/√(1-t^2) dt。
公式：$$\int \frac{1}{x \sqrt{1-(\ln x)^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt$$
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 2/3
目标：积分计算
∫ 1/√(1-t^2) dt = arcsin t + C。
公式：$$\int \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} dt = \arcsin t + C$$
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 3/3
目标：代入上下限
代入上下限得：arcsin(1/2) - arcsin(0) = π/6 - 0 = π/6。
提示：注意arcsin(1/2)=π/6，arcsin(0)=0
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