2023年高数A(二)期末第四-2题
📝 题目
2．$f(x, y)=x^{y^{2}+1}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：识别函数类型
函数 f(x,y)=x^{y^2+1} 是幂指函数，底数和指数都含有变量，求偏导时需使用对数求导法或转化为指数形式。
提示：注意底数和指数均含变量
步骤 2/4
目标：转化为指数形式
将函数写为 f(x,y)=e^{(y^2+1)\ln x}。
公式：$$a^b = e^{b \ln a}$$
提示：注意定义域：x>0
步骤 3/4
目标：求关于 x 的偏导数
将 y 视为常数，对 x 求导：
∂f/∂x = e^{(y^2+1)\ln x} · (y^2+1)·(1/x) = (y^2+1) x^{y^2}。
公式：$$\frac{\partial}{\partial x} x^{a} = a x^{a-1}$$
提示：注意指数函数求导时底数x的幂次处理
步骤 4/4
目标：求关于 y 的偏导数
将 x 视为常数，对 y 求导：
∂f/∂y = e^{(y^2+1)\ln x} · (2y \ln x) = 2y \ln x · x^{y^2+1}。
公式：$$\frac{\partial}{\partial y} x^{y^2+1} = x^{y^2+1} \ln x \cdot 2y$$
提示：注意指数函数求导时底数x视为常数
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