2023年高数A(二)期末第五-1题
📝 题目
1． $\displaystyle{\iint_{D} x y^{2} d x d y}$ ，其中 $D$ 是由 $y=x^{2}, y=x$ 所围成的区域。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定积分区域
首先，我们需要确定积分区域 $D$ 的边界。由题目可知，$D$ 由 $y = x^2$ 和 $y = x$ 围成。为了找到交点，解方程组 $y = x^2$ 和 $y = x$：
$$ x^2 = x $$
解得 $x = 0$ 或 $x = 1$。因此，交点坐标为 $(0, 0)$ 和 $(1, 1)$。
公式：$$x^2 = x$$
提示：注意交点坐标的求解
步骤 2/5
目标：确定积分限
在 $x$ 的区间 $[0, 1]$ 内，对于每一个固定的 $x$，$y$ 的范围是从 $y = x^2$ 到 $y = x$。因此，积分可以表示为：
$$ \iint_{D} x y^{2} d x d y = \int_{0}^{1} \left( \int_{x^2}^{x} x y^{2} d y \right) d x $$
公式：$$\iint_{D} f(x,y) \, dxdy = \int_{a}^{b} \left( \int_{y_1(x)}^{y_2(x)} f(x,y) \, dy \right) dx$$
提示：注意积分次序，先对y后对x
步骤 3/5
目标：计算内积分
先计算内积分 $\int_{x^2}^{x} x y^{2} d y$：
$$ \int x y^{2} d y = x \cdot \frac{y^3}{3} + C $$
因此，内积分的值为：
$$ x \cdot \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{y = x^2}^{y = x} = x \cdot \left( \frac{x^3}{3} - \frac{x^6}{3} \right) = \frac{x^4}{3} - \frac{x^7}{3} $$
公式：$$\int y^2 dy = \frac{y^3}{3} + C$$
提示：注意积分变量是y，x视为常数
步骤 4/5
目标：计算外积分
将内积分的结果代入外积分：
$$ \int_{0}^{1} \left( \frac{x^4}{3} - \frac{x^7}{3} \right) d x = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} (x^4 - x^7) d x $$
计算积分：
$$ \int x^4 d x = \frac{x^5}{5} + C $$
$$ \int x^7 d x = \frac{x^8}{8} + C $$
因此，外积分的值为：
$$ \frac{1}{3} \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{x^8}{8} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{8} \right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{40} = \frac{1}{40} $$
公式：$$\int_{0}^{1} \left( \frac{x^4}{3} - \frac{x^7}{3} \right) dx = \frac{1}{3} \int_{0}^{1} (x^4 - x^7) dx$$
提示：注意积分上下限代入时需相减
步骤 5/5
目标：最终答案
因此，第一题的答案为：
$$ \boxed{\dfrac{1}{40}} $$
公式：$$\iint_D f(x,y) \, dxdy = \int_{x=a}^{b} \int_{y=g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \, dx$$
提示：注意积分区域边界曲线交点及积分次序
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