2023年高数A(二)期末第六-2题
📝 题目
2．求二元函数 $f(x, y)=x^{3}+y^{3}-3 x y$ 的极值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求一阶偏导数
对函数 f(x,y)=x³+y³-3xy 分别求关于 x 和 y 的偏导数：
f_x = 3x² - 3y，f_y = 3y² - 3x
公式：$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2 - 3y, \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 3y^2 - 3x$$
提示：求偏导时注意将另一变量视为常数
步骤 2/5
目标：求驻点
令 f_x=0 且 f_y=0，得方程组：
3x² - 3y = 0 ⇒ y = x²
3y² - 3x = 0 ⇒ x = y²
代入得 x = (x²)² = x⁴，即 x⁴ - x = 0 ⇒ x(x³-1)=0，解得 x=0 或 x=1。
对应 y=0 或 y=1。因此驻点为 (0,0) 和 (1,1)。
公式：$$\begin{cases} f_x = 3x^2 - 3y = 0 \\ f_y = 3y^2 - 3x = 0 \end{cases}$$
提示：注意代入消元时不要遗漏解
步骤 3/5
目标：求二阶偏导数
计算二阶偏导数：
f_xx = 6x，f_yy = 6y，f_xy = -3
公式：$$f_{xx}=6x,\quad f_{yy}=6y,\quad f_{xy}=-3$$
提示：注意混合偏导与顺序无关
步骤 4/5
目标：构造海森矩阵并判别
海森矩阵 H = [[6x, -3], [-3, 6y]]，判别式 Δ = f_xx·f_yy - (f_xy)² = (6x)(6y) - 9 = 36xy - 9。
在 (0,0) 处：Δ = -9 < 0，故 (0,0) 不是极值点（鞍点）。
在 (1,1) 处：Δ = 36×1×1 - 9 = 27 > 0，且 f_xx=6>0，故 (1,1) 是极小值点。
公式：$$\Delta = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$$
提示：注意判别式符号与二阶偏导符号结合判断
步骤 5/5
目标：求极小值
将 (1,1) 代入原函数：f(1,1) = 1³ + 1³ - 3×1×1 = 1+1-3 = -1。
因此函数在 (1,1) 处取得极小值 -1。
提示：代入计算时注意符号和指数运算
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