2024年高数A(二)期末第一-1题
📝 题目
1．下列定积分中，最大个的是 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：比较定积分的大小
我们需要比较四个定积分的大小。首先计算每个积分的值：
A: $\int_{0}^{1} x^{2} dx = \left. \frac{x^{3}}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{3}$
B: $\int_{0}^{1} x^{3} dx = \left. \frac{x^{4}}{4} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{4}$
C: $\int_{0}^{1} x dx = \left. \frac{x^{2}}{2} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{2}$
D: $\int_{0}^{1} \sqrt{x} dx = \left. \frac{2x^{3/2}}{3} \right|_{0}^{1} = \frac{2}{3}$
比较结果：$\frac{2}{3} > \frac{1}{2} > \frac{1}{3} > \frac{1}{4}$，因此最大的定积分是D选项。
公式：$$\int_{0}^{1} x^{n} dx = \left. \frac{x^{n+1}}{n+1} \right|_{0}^{1} = \frac{1}{n+1}$$
提示：注意比较积分值大小，而非被积函数大小。
步骤 2/3
目标：分析极限与积分的关系
我们需要将极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+i^{2}}$ 转换为积分形式。首先，将表达式改写为：
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + \left(\frac{i}{n}\right)^{2}}$
这对应于积分 $\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^{2}} dx$，其中 $x = \frac{i}{n}$，$\Delta x = \frac{1}{n}$。因此，正确的积分是B选项。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{1 + (i/n)^2} = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} dx$$
提示：注意将和式转化为定积分时，分割点与步长对应
步骤 3/3
目标：验证其他选项
A选项的积分 $\int_{0}^{1} \frac{x}{x^{2}+1} dx$ 不正确，因为被积函数与极限表达式不匹配。
C和D选项的积分区间为 $[0, +\infty)$，与极限的区间 $[0,1]$ 不符，因此不正确。
提示：注意积分区间与极限区间的一致性
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