2024年高数A(二)期末第一-2题
📝 题目
2．极限 $\displaystyle{\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^{2}+i^{2}}}$ 可以通过下面哪个积分计算？ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将极限表达式变形为黎曼和的形式
原极限为 \(\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{n}{n^2+i^2}\)，将分子分母同除以 \(n^2\) 得：\(\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+(i/n)^2}\)。
公式：$$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right) = \int_0^1 f(x) \, dx$$
提示：注意分母同除以n²后分子要相应调整
步骤 2/3
目标：识别黎曼和对应的积分
令 \(x_i = i/n\)，则 \(\Delta x = 1/n\)，求和式 \(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{1+(i/n)^2}\) 对应于函数 \(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\) 在区间 \([0,1]\) 上的黎曼和。
公式：$$\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n f\left(\frac{i}{n}\right)=\int_0^1 f(x)\,dx$$
提示：注意将n/(n^2+i^2)化为标准黎曼和形式
步骤 3/3
目标：写出极限对应的积分
因此极限等于 \(\int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx\)，对应选项 B。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} \frac{n}{n^2+i^2} = \int_0^1 \frac{1}{1+x^2} \, dx$$
提示：注意将和式转化为定积分时，分割区间为[0,1]
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