2024年高数A(二)期末第一-3题
📝 题目
3．已知连续函数 $f(x)$ 的一个原函数为 $F(x)$ ，那么 $\displaystyle{\int_{0}^{1} f(2 x) d x=}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件
已知 f(x) 连续，F(x) 是 f(x) 的一个原函数，即 F'(x) = f(x)。
公式：$$\int_{0}^{1} f(2x) dx = \frac{1}{2} [F(2) - F(0)]$$
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 2/6
目标：写出待求积分
需要计算 ∫₀¹ f(2x) dx。
公式：$$\int_{0}^{1} f(2x) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(u) du = \frac{1}{2} [F(2) - F(0)]$$
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 3/6
目标：变量代换
令 u = 2x，则 du = 2 dx，即 dx = du/2。当 x=0 时 u=0；当 x=1 时 u=2。
公式：$$\int_{0}^{1} f(2x) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(u) du = \frac{1}{2} [F(u)]_{0}^{2} = \frac{F(2)-F(0)}{2}$$
提示：注意积分限变换和dx替换
步骤 4/6
目标：代入换元
∫₀¹ f(2x) dx = ∫_{u=0}^{2} f(u) * (du/2) = (1/2) ∫₀² f(u) du。
公式：$$\int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) du$$
提示：注意换元时积分限和dx的变换
步骤 5/6
目标：利用原函数计算定积分
由于 F 是 f 的原函数，∫₀² f(u) du = F(2) - F(0)。
公式：$$\int_{0}^{1} f(2x) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(u) du = \frac{1}{2} [F(2) - F(0)]$$
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 6/6
目标：得出结果
因此原积分 = (1/2)[F(2) - F(0)]，对应选项 D。
公式：$$\int_{0}^{1} f(2x) dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} f(u) du = \frac{1}{2} [F(2) - F(0)]$$
提示：注意换元后积分限的变化
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