2024年高数A(二)期末第一-4题
📝 题目
4．下列微分方程中，为可分离变量的微分方程的是
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解可分离变量的定义
可分离变量的微分方程是指能够通过代数变形，将方程写为形如 g(y) dy = f(x) dx 的形式，即变量 y 和 x 分别位于等号两侧。
公式：$$g(y)dy = f(x)dx$$
提示：注意变量必须完全分离，不能混合
步骤 2/6
目标：分析选项A
A: y' + xy = x^2，即 dy/dx = x^2 - xy = x(x - y)，右侧同时含有 x 和 y 的乘积，无法分离成 f(x)g(y) 的形式，因此不是可分离变量方程。
提示：注意分离变量要求右侧为f(x)g(y)形式
步骤 3/6
目标：分析选项B
B: (xy+1)dx + (y+1)dy = 0，移项得 (xy+1)dx = -(y+1)dy，左侧含有 x 和 y 的乘积项 xy，无法分离成只含 x 的表达式与只含 y 的表达式相乘的形式，因此不是可分离变量方程。
提示：注意乘积项xy无法分离变量
步骤 4/6
目标：分析选项C
C: y' + y e^x = e^x，即 dy/dx = e^x - y e^x = e^x (1 - y)，右侧可写为 e^x 与 (1-y) 的乘积，变量已分离，因此是可分离变量微分方程。
公式：$$\frac{dy}{dx} = e^x (1 - y)$$
提示：注意分离变量后两边可分别积分
步骤 5/6
目标：分析选项D
D: (y')^2 + y sin x = x，含有 y' 的平方项，且无法整理成 dy/dx = f(x)g(y) 的形式，因此不是可分离变量方程。
提示：注意方程中是否含有y'的高次项
步骤 6/6
目标：得出结论
只有选项C满足可分离变量的条件，故正确答案为C。
提示：注意方程形式能否分离变量
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