2024年高数A(二)期末第一-5题
📝 题目
5．下列级数发散的是 ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析选项A
对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}$，可以将其与 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 比较。由于 $\frac{1}{n^{2}+1} < \frac{1}{n^{2}}$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ 是收敛的 $p$-级数（$p=2>1$），因此 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+1}$ 也收敛。
公式：$$\frac{1}{n^{2}+1} < \frac{1}{n^{2}}$$
提示：注意比较判别法的方向
步骤 2/6
目标：分析选项B
对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$，这是一个等比级数，公比 $r = \frac{1}{2} < 1$，因此该级数收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1} = \frac{a}{1-r} \quad (|r|<1)$$
提示：注意公比绝对值小于1才收敛
步骤 3/6
目标：分析选项C
对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$，可以使用积分判别法。考虑积分 $\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln x} dx = \ln(\ln x) \big|_{2}^{\infty} = \infty$，积分发散，因此级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \ln n}$ 发散。
公式：$$\int_{2}^{\infty} \frac{1}{x \ln x} dx = \ln(\ln x) \big|_{2}^{\infty} = \infty$$
提示：注意积分下限从2开始，避免ln(1)=0
步骤 4/6
目标：分析选项D
对于级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)}$，可以将其拆分为 $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right)$，这是一个望远镜级数，其部分和为 $S_N = 1 - \frac{1}{N+1} \to 1$，因此该级数收敛。
公式：$$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$$
提示：注意裂项后部分和相消规律
步骤 5/6
目标：结论
根据以上分析，选项C的级数是发散的。
提示：注意比较审敛法的适用条件
步骤 10/6
目标：结论
根据以上分析，第二题中错误的说法是选项D。
提示：注意区分级数收敛与发散的条件
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。