2024年高数A(二)期末第一-6题
📝 题目
6．已知正项级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}}$ 收敛，那么下列说法错误的是 ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项A
若正项级数∑a_n收敛，则对任意常数c，级数∑c·a_n也收敛。因此∑2a_n收敛，A正确。
提示：正项级数乘以常数仍收敛
步骤 2/5
目标：分析选项B
由于∑a_n是正项收敛级数，其通项a_n→0，且a_n单调递减？不一定。但交错级数∑(-1)^{n-1}a_n满足莱布尼茨判别法的条件：a_n递减且趋于0？题目只给收敛，未给单调性。实际上，正项收敛级数不一定通项单调递减，但可以证明交错级数∑(-1)^{n-1}a_n绝对收敛（因为|(-1)^{n-1}a_n|=a_n，而∑a_n收敛），所以该交错级数绝对收敛，从而收敛。B正确。
提示：正项收敛级数不一定单调递减
步骤 3/5
目标：分析选项C
由正项级数收敛的必要条件，a_n→0，当n充分大时0≤a_n<1，则a_n²≤a_n，由比较判别法知∑a_n²收敛。C正确。
提示：注意比较判别法需满足0≤a_n²≤a_n
步骤 4/5
目标：分析选项D
反例：取a_n=1/n²，则∑1/n²收敛，但√a_n=1/n，∑1/n发散。因此∑√a_n不一定收敛，D错误。
提示：注意反例中平方根后级数发散
步骤 5/5
目标：得出结论
说法错误的是D。
提示：注意正项级数收敛与通项趋于0的关系
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