2024年高数A(二)期末第一-8题
📝 题目
8．假设 $z=f(x, y)$ 在 $(1, 1)$ 点的某个邻域内偏导数存在，且 $f_{x}^{\prime}(1, 1)=2$ ，那么下面极限结果一定正确的是（ ）。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解题意与偏导数定义
已知函数 z = f(x, y) 在点 (1,1) 的某邻域内偏导数存在，且 f_x'(1,1) = 2。偏导数 f_x'(1,1) 的定义为：lim_{x→1} [f(x,1) - f(1,1)] / (x-1) = 2。
公式：$$f_x'(1,1) = \lim_{x \to 1} \frac{f(x,1) - f(1,1)}{x-1} = 2$$
提示：注意偏导定义中固定y=1
步骤 2/3
目标：分析各选项
选项 A 是沿任意路径趋于 (1,1) 时的全增量与距离之比，偏导数存在不能保证该极限存在，故 A 不一定正确。选项 B 正是偏导数 f_x'(1,1) 的定义式，因此一定正确。选项 C 是偏导数 f_y'(1,1) 的定义，但题目只给了 f_x'(1,1)=2，没有给出 f_y'(1,1) 的值，故不一定正确。选项 D 中分母是 x-1，但分子中的 f(1,y) 中的 y 是变量，不是固定为 1，因此不是偏导数的定义，不一定正确。
提示：偏导数定义要求固定一个变量
步骤 3/3
目标：得出结论
只有选项 B 与已知条件直接对应，因此一定正确。
提示：注意偏导数定义与极限形式的对应关系
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