2024年高数A(二)期末第二-3题
📝 题目
3．设 $\displaystyle{f(x)=\int_{0}^{x} \frac{\ln (1+t)}{1+t} d t}$ ，则 $f^{\prime}(1)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：应用微积分基本定理求导
由微积分基本定理，若 $f(x)=\int_{0}^{x} g(t) dt$，则 $f'(x)=g(x)$。这里 $g(t)=\frac{\ln(1+t)}{1+t}$，所以 $f'(x)=\frac{\ln(1+x)}{1+x}$。
公式：$$f'(x)=g(x)$$
提示：注意积分下限为常数
步骤 2/2
目标：代入 x=1 计算
将 $x=1$ 代入 $f'(x)$，得 $f'(1)=\frac{\ln(1+1)}{1+1}=\frac{\ln 2}{2}$。
公式：$$f'(x)=\frac{\ln(1+x)}{1+x}$$
提示：注意代入时不要忘记分母的1+t
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