2024年高数A(二)期末第二-4题
📝 题目
4．函数项级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} x^{n}}$ 的收敛半径 $R=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别级数形式
该级数为幂级数 ∑_{n=1}^{∞} x^n，其通项为 a_n x^n，其中 a_n = 1。
公式：$$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$
提示：注意a_n=1，极限为1，半径=1
步骤 2/3
目标：应用收敛半径公式
对于幂级数 ∑ a_n x^n，收敛半径 R = 1 / limsup_{n→∞} |a_n|^{1/n}。由于 a_n = 1，所以 |a_n|^{1/n} = 1^{1/n} = 1，因此 limsup = 1。
公式：$$R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty} |a_n|^{1/n}}$$
提示：注意a_n=1，开n次方后极限为1
步骤 3/3
目标：计算收敛半径
R = 1 / 1 = 1。
公式：$$R = \frac{1}{\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$$
提示：注意幂级数系数为1，直接套公式
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