2024年高数A(二)期末第二-5题
📝 题目
5．设 $z=x^{2}+y^{2}$ ，则 $\left.d z\right|_{(1,2)}=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求偏导数
对 $z=x^2+y^2$ 分别求偏导：$\frac{\partial z}{\partial x}=2x$，$\frac{\partial z}{\partial y}=2y$。
公式：$$\frac{\partial z}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial z}{\partial y}=2y$$
提示：注意偏导时视另一变量为常数
步骤 2/3
目标：代入点 (1,2) 求偏导数值
在点 $(1,2)$ 处：$\left.\frac{\partial z}{\partial x}\right|_{(1,2)}=2\times1=2$，$\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{(1,2)}=2\times2=4$。
公式：$$\frac{\partial z}{\partial x}=2x, \frac{\partial z}{\partial y}=2y$$
提示：注意代入点坐标时不要混淆x和y
步骤 3/3
目标：写出全微分表达式
全微分公式：$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$，代入得 $\left.dz\right|_{(1,2)} = 2\,dx + 4\,dy$。
公式：$$dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$$
提示：注意代入点后只含dx,dy，不含具体数值
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