2024年高数A(二)期末第三-1题
📝 题目
1． $\displaystyle{\int_{0}^{1}(2 x-1)^{2024} \mathrm{~d} x}$ ；
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：换元
令 $t = 2x - 1$，则 $\mathrm{d}x = \frac{1}{2}\mathrm{d}t$，当 $x=0$ 时 $t=-1$，当 $x=1$ 时 $t=1$。
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 2/4
目标：积分变换
原积分化为 $\int_{-1}^{1} t^{2024} \cdot \frac{1}{2} \mathrm{d}t = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} t^{2024} \mathrm{d}t$。
公式：$$\int_{a}^{b} f(x) \, dx = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u^{-1}(t)) \cdot \frac{dx}{dt} \, dt$$
提示：注意换元后积分限和微分变换
步骤 3/4
目标：利用奇偶性
被积函数 $t^{2024}$ 是偶函数，故 $\int_{-1}^{1} t^{2024} \mathrm{d}t = 2 \int_{0}^{1} t^{2024} \mathrm{d}t$。
公式：$$\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx \quad (f \text{为偶函数})$$
提示：注意换元后积分限的变化
步骤 4/4
目标：计算积分
$\frac{1}{2} \cdot 2 \int_{0}^{1} t^{2024} \mathrm{d}t = \int_{0}^{1} t^{2024} \mathrm{d}t = \left[ \frac{t^{2025}}{2025} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2025}$。
公式：$$\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$$
提示：注意换元后积分限的变化
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。