2024年高数A(二)期末第三-2题
📝 题目
2． $\displaystyle{\int_{-1}^{1}(|x|+\sin x) x^{2} d x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：拆项并利用奇偶性
原积分 = ∫_{-1}^{1} |x|·x² dx + ∫_{-1}^{1} sin x·x² dx。由于 |x|·x² 是偶函数，sin x·x² 是奇函数，在对称区间上奇函数积分为0，故原积分 = 2∫_{0}^{1} |x|·x² dx。
公式：$$\int_{-a}^{a} f(x) dx = 2\int_{0}^{a} f(x) dx \quad (f\text{为偶函数})$$
提示：注意奇函数在对称区间积分为0
步骤 2/3
目标：化简被积函数
在 [0,1] 上，|x| = x，所以被积函数为 x·x² = x³。
提示：注意绝对值分段处理
步骤 3/3
目标：计算定积分
2∫_{0}^{1} x³ dx = 2·[x⁴/4]_{0}^{1} = 2·(1/4) = 1/2。
公式：$$\int_{0}^{1} x^{3} dx = \left[ \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{1}$$
提示：注意奇偶性化简，积分限从0到1
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