2024年高数A(二)期末第五-2题
📝 题目
2．计算 $\displaystyle{\iint_{D} \mathrm{e}^{y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y}$ ，其中 $D$ 由 $y=x, y=1$ 及 $y$ 轴所围成。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：画出积分区域并确定积分次序
区域D由直线y=x、y=1以及y轴（x=0）围成。由于被积函数e^{y^2}仅依赖于y，选择先对x积分后对y积分较为简便。
提示：注意积分区域边界为y=x、y=1和x=0
步骤 2/5
目标：确定积分限
y的取值范围是从y=x与y轴的交点（即y=0）到y=1；对于固定的y，x从左边边界x=0到右边边界x=y。因此积分可写为：∫_{y=0}^{1} ∫_{x=0}^{y} e^{y^2} dx dy。
公式：$$\int_{0}^{1} \int_{0}^{y} e^{y^2} \, dx \, dy$$
提示：注意积分次序，先对x后对y
步骤 3/5
目标：计算内层积分
对x积分时，e^{y^2}视为常数，内层积分结果为：∫_{0}^{y} e^{y^2} dx = e^{y^2} * (y - 0) = y e^{y^2}。
公式：$$\int_{0}^{y} e^{y^2} dx = e^{y^2} \cdot (y - 0) = y e^{y^2}$$
提示：注意积分变量是x，e^{y^2}视为常数
步骤 4/5
目标：计算外层积分
外层积分为∫_{0}^{1} y e^{y^2} dy。令u=y^2，则du=2y dy，即y dy = du/2。当y=0时u=0，y=1时u=1。积分变为∫_{0}^{1} e^{u} * (1/2) du = (1/2) ∫_{0}^{1} e^{u} du = (1/2)(e^1 - e^0) = (e - 1)/2。
公式：$$\int_{0}^{1} y e^{y^2} dy = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^u du = \frac{e-1}{2}$$
提示：注意换元时积分限的变化
步骤 5/5
目标：得出最终结果
因此，二重积分的值为 (e - 1)/2。
公式：$$\iint_D e^{y^2} dxdy = \int_0^1 e^{y^2} dy \int_y^1 dx = \int_0^1 e^{y^2} (1-y) dy = \frac{e-1}{2}$$
提示：注意积分次序，先对x后对y
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