2024年高数A(二)期末第七-2题
📝 题目
2．求二元函数 $f(x, y)=(x-1)^{2}+(y-4)^{2}$ 的极值；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求偏导数
计算函数 $f(x,y)=(x-1)^2+(y-4)^2$ 的一阶偏导数：
$f_x = 2(x-1)$，$f_y = 2(y-4)$
公式：$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2(x-1), \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2(y-4)$$
提示：注意对平方项求导时系数2不要遗漏
步骤 2/5
目标：求驻点
令 $f_x=0$ 且 $f_y=0$，得方程组：
$2(x-1)=0$，$2(y-4)=0$
解得驻点为 $(1,4)$
公式：$$f_x=0, f_y=0$$
提示：注意偏导数为0是必要条件
步骤 3/5
目标：求二阶偏导数
计算二阶偏导数：
$f_{xx}=2$，$f_{yy}=2$，$f_{xy}=0$
公式：$$f_{xx}=2, f_{yy}=2, f_{xy}=0$$
提示：注意二阶偏导数为常数，与点无关
步骤 4/5
目标：极值判定
计算判别式 $\Delta = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2 = 2 \times 2 - 0^2 = 4 > 0$，且 $f_{xx}=2>0$，故函数在 $(1,4)$ 处取得极小值。
公式：$$\Delta = f_{xx}f_{yy} - (f_{xy})^2$$
提示：注意判别式大于0且fxx>0才是极小值
步骤 5/5
目标：求极小值
代入驻点得极小值：$f(1,4) = (1-1)^2 + (4-4)^2 = 0$
公式：$$f(x, y) = (x-1)^2 + (y-4)^2$$
提示：注意驻点代入后结果为0
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