2024年高数A(二)期末第七-3题
📝 题目
3．判别级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!a^{n}}{n^{n}}(a>e)}$ 的收敛性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定判别方法
由于通项含有n!和n^n，考虑使用比值判别法（达朗贝尔判别法）或根值判别法。这里选用比值判别法，计算lim_{n→∞} u_{n+1}/u_n。
公式：$$\lim_{n\to\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n}$$
提示：注意a>e的条件
步骤 2/4
目标：计算比值
设u_n = n! a^n / n^n，则u_{n+1} = (n+1)! a^{n+1} / (n+1)^{n+1}。比值：u_{n+1}/u_n = [ (n+1)! a^{n+1} / (n+1)^{n+1} ] * [ n^n / (n! a^n) ] = a * (n+1) * n^n / (n+1)^{n+1} = a * n^n / (n+1)^n = a * [ n/(n+1) ]^n。
公式：$$\frac{u_{n+1}}{u_n} = a \left(\frac{n}{n+1}\right)^n$$
提示：注意约分时不要遗漏a因子
步骤 3/4
目标：求极限
计算lim_{n→∞} [ n/(n+1) ]^n = lim_{n→∞} 1/(1+1/n)^n = 1/e。因此lim_{n→∞} u_{n+1}/u_n = a/e。
公式：$$\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n}{n+1}\right)^n = \frac{1}{e}$$
提示：注意极限与e的关系，避免混淆指数
步骤 4/4
目标：根据比值判别法判断
由于a > e，所以a/e > 1。根据比值判别法，当极限大于1时，级数发散。因此原级数发散。
公式：$$\lim_{n \to \infty} \frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{a}{e} > 1$$
提示：注意比值判别法中极限大于1则发散
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