2025年高数A(二)期末第一-3题
📝 题目
3．设 $f(x, y)=x^{2} y+\sin y$ ，则 $\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}$ 在点 $(1, \pi)$ 处的值是 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算偏导数
给定函数 $f(x, y) = x^{2} y + \sin y$，首先计算 $\frac{\partial f}{\partial x}$。对 $x$ 求偏导时，$y$ 视为常数。因此，$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$。
公式：$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$$
提示：对x求偏导时，y视为常数
步骤 2/5
目标：求偏导数值
将点 $(1, \pi)$ 代入 $\frac{\partial f}{\partial x}$，得到 $\frac{\partial f}{\partial x}(1, \pi) = 2 \times 1 \times \pi = 2\pi$。因此，正确答案是 A．$2\pi$。
公式：$$\frac{\partial f}{\partial x} = 2xy$$
提示：代入时注意y值不变
步骤 3/5
目标：分析微分方程
微分方程 $\frac{dy}{dx} = 2xy$ 是可分离变量的微分方程。将方程改写为 $\frac{dy}{y} = 2x dx$。
提示：注意区分偏导与全导
步骤 4/5
目标：积分求解
两边积分得 $\ln |y| = x^{2} + C_1$，其中 $C_1$ 为常数。取指数函数得 $y = e^{x^{2} + C_1} = C e^{x^{2}}$，其中 $C = e^{C_1}$ 为任意常数。
提示：注意偏导是对x求导，y视为常数
步骤 5/5
目标：验证选项
对比选项，A．$y = C e^{x^{2}}$ 与通解一致，因此正确答案是 A。其他选项：B．$y = C e^{2x}$ 不正确；C．$y = C x^{2}$ 不正确；D．$y = C e^{-x^{2}}$ 不正确。
提示：步骤与题目无关，需重新分析
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