2025年高数A(二)期末第一-4题
📝 题目
4．微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} x}=2 x y$ 的通解为（ $C$ 为任意常数）（ ）。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分离变量
将方程改写为 dy/dx = 2xy，分离变量得 dy/y = 2x dx。
公式：$$\frac{dy}{y} = 2x dx$$
提示：注意y≠0，分离变量时需考虑y=0的情况
步骤 2/4
目标：两边积分
对两边积分：∫(1/y) dy = ∫2x dx，得到 ln|y| = x² + C₁。
公式：$$\int \frac{1}{y} \, dy = \ln|y| + C$$
提示：注意积分常数C₁不要遗漏
步骤 3/4
目标：解出 y
两边取指数：|y| = e^{x² + C₁} = e^{C₁} e^{x²}，令 C = ±e^{C₁}，得 y = C e^{x²}。
公式：$$\frac{dy}{dx}=2xy$$
提示：注意绝对值处理及常数合并
步骤 4/4
目标：选择答案
通解为 y = C e^{x²}，对应选项 A。
公式：$$\frac{dy}{dx}=2xy$$
提示：分离变量后积分，注意常数处理
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