2025年高数A(二)期末第一-5题

题目5考察定积分的性质。我们需要分析每个选项的正确性。

选项A：假设可积函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 非负，那么 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x \geq 0$。这是正确的，因为定积分的几何意义是曲线下的面积，非负函数的面积非负。

选项B：假设可积函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 为奇函数，那么 $\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0$。这是正确的，因为奇函数在对称区间上的积分等于零。

选项C：假设可积函数 $f(x)$ 在 $[-a, a]$ 为偶函数，那么 $\int_{-a}^{a} f(x) \mathrm{d} x=0$。这是错误的，因为偶函数在对称区间上的积分等于两倍的正区间积分，不一定为零。

选项D：假设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 为可积，那么 $\int_{a}^{b}|f(x)| \mathrm{d} x \geq \left|\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x\right|$。这是正确的，这是积分绝对值的性质。

题目5中错误的选项是C。

题目6考察级数的收敛性。已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，我们需要分析哪个选项的级数一定收敛。

选项A：$\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$。不一定收敛，例如 $a_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 时，$\sum a_n$ 收敛但 $\sum a_n^2$ 发散。

选项B：$\sum_{n=1}^{\infty} 3 a_{n}$。一定收敛，因为常数倍不改变收敛性。

选项C：$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} a_{n}$。不一定收敛，例如 $a_n = \frac{1}{n}$ 时，$\sum a_n$ 发散，$\sum (-1)^n a_n$ 收敛，但题目中 $\sum a_n$ 收敛，$\sum (-1)^n a_n$ 可能收敛也可能发散。

选项D：$\sum_{n=1}^{\infty} n a_{n}$。不一定收敛，例如 $a_n = \frac{(-1)^n}{n}$ 时，$\sum a_n$ 收敛但 $\sum n a_n$ 发散。

题目6中一定收敛的选项是B。