2025年高数A(二)期末第一-6题
📝 题目
6．已知级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}}$ 收敛，那么下列级数一定收敛的是 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析选项A
若级数∑a_n收敛，不能保证∑a_n²收敛，例如a_n=(-1)^n/√n，∑a_n条件收敛，但∑a_n²=∑1/n发散。
提示：收敛级数平方项不一定收敛
步骤 2/5
目标：分析选项B
由级数收敛的性质，若∑a_n收敛，则数乘级数∑3a_n也收敛，因为收敛级数乘以常数仍收敛。
提示：注意数乘性质仅适用于常数因子
步骤 3/5
目标：分析选项C
∑(-1)^n a_n不一定收敛，例如取a_n=(-1)^n/n，则∑a_n收敛（交错级数），但∑(-1)^n a_n=∑1/n发散。
提示：注意交错级数收敛条件与反例构造
步骤 4/5
目标：分析选项D
∑n a_n不一定收敛，例如取a_n=(-1)^n/(n ln n)，∑a_n收敛，但∑n a_n=∑(-1)^n/ln n发散（通项不趋于0）。
提示：注意通项不趋于0是发散的一个充分条件
步骤 5/5
目标：得出结论
只有选项B一定收敛，因此正确答案为B。
提示：注意收敛级数线性性质的应用
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