2025年高数A(二)期末第一-7题
📝 题目
7．已知级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n^{p}}}$ 绝对收敛，那么 ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解绝对收敛的定义
级数∑(-1)^n / n^p 绝对收敛，意味着其绝对值级数∑ 1/n^p 收敛。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{(-1)^n}{n^p} \right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$$
提示：绝对收敛需检查绝对值级数收敛性
步骤 2/3
目标：判断绝对值级数的收敛性
绝对值级数为∑ 1/n^p，这是一个p-级数。已知p-级数∑ 1/n^p 收敛当且仅当p > 1。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ 收敛当且仅当 } p > 1$$
提示：注意p-级数收敛条件p>1
步骤 3/3
目标：得出结论
因此，要使原级数绝对收敛，必须满足p > 1，对应选项A。
公式：$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \text{ 收敛当且仅当 } p > 1$$
提示：注意绝对收敛要求正项级数收敛
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